Saltar ao contido

Isomorfismo de grupos

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En teoría de grupos, dise que dous grupos son isomorfos se existe un isomorfismo entre eles, é dicir, un homomorfismo de grupos bixectivo.

Desde un punto de vista abstracto, os grupos isomorfos teñen a mesma estrutura e mesmas propiedades e só se diferencian polos símbolos utilizados para denotar ao conxunto subxacente, os seus elementos e a operación.[1]


Un isomorfismo de grupos é unha relación de equivalencia, e por tanto permite clasificar os grupos «ata isomorfismo». Cando dous grupos son isomorfos, dise que pertencen á mesma clase de isomorfía ou que teñen o mesmo tipo de isomorfismo.[2]

Definición

[editar | editar a fonte]

Unha aplicación entre os grupos e é un isomorfismo de grupos se se cumpren as dúas condicións seguintes:

  1. é un homomorfismo de grupos: para todo par de elementos , cúmprese que
  2. é unha bixección: fai corresponder de maneira biunívoca os elementos de cos de .

Nesa situación dise que os grupos e son isomorfos e denótase por .

Equivalencia de grupos isomorfos

[editar | editar a fonte]

Os isomorfismos de grupos permiten describir unha relación, que podemos expresar como: «o grupo G é isomorfo ao grupo H» se existe un isomorfismo . Esta relación é unha relación de equivalencia:

  • é reflexiva: Todo grupo G é isomorfo a si mesmo baixo a función identidade . Esta función é obviamente unha bixección, e tamén é un homomorfismo, pois
.
  • é simétrica: se G é isomorfo a H entón H é isomorfo a G. Dado un isomorfismo , a aplicación inversa é tamén un isomorfismo.[3]
  • é transitiva: se G é isomorfo a H e H é isomorfo a K entón G é isomorfo a K. Sexan e tres grupos, e sexan e isomorfismos. Entón a composición é tamén un isomorfismo.


Teoremas de isomorfismo de grupos

[editar | editar a fonte]

Existen tres importantes teoremas, formulados por Emmy Noether, que relacionan cocientes, subgrupos normais e homomorfismos, e que teñen análogos para a maioría das estruturas alxébricas.[4]

Sexa un homomorfismo de grupos, con kernel . Entón .

  • Segundo teorema:

Se e son subgrupos dun grupo , con normal en , daquela é un subgrupo de , é normal en e .

  • Terceiro teorema:

Se e son subgrupos normais dun grupo , con , entón .

Grupos de automorfismos

[editar | editar a fonte]

En xeral, un homomorfismo é unha función entre dous grupos distintos. Con todo, dado un grupo G é posible definir endomorfismos: funcións que son homomorfismos de G en si mesmo. Non todos son bixectivos, mais cando o son dicimos que é un automorfismo.

O conxunto de automorfismos dun grupo G, xunto coa operación de composición de funcións, ten estrutura de grupo, e se denomina grupo de automorfismos de G, que denotamos como Aut(G). Entre estes hai un importante subgrupo formado polos automorfismos interiores de G, que son aqueles definidos pola conxugación respecto dun elemento do grupo. Este subgrupo, que é normal, denótase por Inn(G). O cociente Aut(G)/Inn(G) denomínase grupo de automorfismos exteriores, e denótase por Out(G).

  1. "Group Isomorphism Theorems | Brilliant Math & Science Wiki". 
  2. Dummit & Foote 2004, p. 37.
  3. Rivero, Francisco. "A L G E B R A: Estructuras Algebraicas" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 25 de abril de 2024. Consultado o 25 de abril de 2024. 
  4. Rotman 1999.

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª ed.). Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5. 
  • Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups (4ª ed.). Springer. 

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]