Prawo wielkich liczb
Prawa wielkich liczb – seria twierdzeń matematycznych (jedno z tzw. twierdzeń granicznych) opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą. Najprostsza postać prawa wielkich liczb to prawo Bernoulliego[1] orzekające, że:
- „Z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 można się spodziewać, iż przy dostatecznie wielkiej liczbie prób częstość danego zdarzenia losowego będzie się dowolnie mało różniła od jego prawdopodobieństwa.”[a]
Ta postać jest historycznie najwcześniejsza; sformułował ją szwajcarski matematyk Jakob Bernoulli w 1713 roku w książce Ars Conjectandi. Nazwał to twierdzenie „złotym”, inni matematycy – twierdzeniem Bernoulliego, a Siméon Denis Poisson w 1835 roku – prawem wielkich liczb; ta ostatnia nazwa stała się najczęstszą[potrzebny przypis].
Prawa wielkich liczb
edytujPrawo wielkich liczb Bernoulliego
edytujJeśli oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym to dla każdego
Słownie: niezależnie od wyboru szerokości przedziału wokół wartości oczekiwanej, prawdopodobieństwo dla dużych będzie dowolnie bliskie
Dowód słabego prawa wielkich liczb opiera się na nierówności Czebyszewa.
Mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego mówi, że ciąg dąży do prawie na pewno. Dowód tego faktu wykorzystuje nierówność Bernsteina.
Mocne prawo wielkich liczb
edytujDla ciągów (całkowalnych) zmiennych losowych wprowadza się definicję spełniania przez nich tzw. mocnego (i słabego) prawa wielkich liczb.
Ciąg zmiennych losowych spełnia mocne prawo wielkich liczb (MPWL), gdy
Mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa
edytuj- Jeżeli jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratem oraz
- to ciąg spełnia MPWL.
Wynika z niego następujący wniosek: jeżeli jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie oraz to
Twierdzenie Kołmogorowa
edytujW ogólności, jeśli jest rosnącym do nieskończoności ciągiem liczb dodatnich, a ponadto zbieżny jest szereg
to
prawie na pewno.
Dowód twierdzenia opiera się na znanych z analizy lematach Toeplitza oraz Kroneckera, a także następującym fakcie z rachunku prawdopodobieństwa: jeśli jest ciągiem całkowalnych niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratem oraz szereg
jest zbieżny, to szereg
jest zbieżny prawie na pewno.
Słabe prawo wielkich liczb
edytujMówimy, że ciąg zmiennych losowych spełnia słabe prawo wielkich liczb (SPWL), gdy
ze względu na prawdopodobieństwo.
Słabe prawo wielkich liczb dla parami niezależnych zmiennych o skończonej wariancji
edytujJeżeli jest ciągiem parami niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratami oraz
to ciąg spełnia SPWL. Dowód tego faktu również opiera się na nierówności Czebyszewa.
Zobacz też
edytujUwagi
edytuj- ↑ Zwiększając liczbę doświadczeń opartych na zdarzeniach losowych, możemy oczekiwać rozkładu wyników coraz lepiej odpowiadającego rozkładowi prawdopodobieństw zdarzeń (na przykład, przeprowadzając wielką liczbę rzutów symetryczną monetą, możemy oczekiwać, że stosunek liczby „wyrzuconych” orłów do liczby wszystkich rzutów będzie bliski 0,5 (wartości prawdopodobieństwa); tym większe są na to szanse im większa jest liczba rzutów).
Przypisy
edytuj- ↑ wielkich liczb prawa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-03-18] .