Costanti zeta
In matematica la funzione zeta di Riemann è una funzione che riveste grandissima importanza per la teoria dei numeri, a causa della sua relazione con la distribuzione dei numeri primi. Essa inoltre trova applicazioni in altre discipline, ad esempio nella fisica. Questo articolo fornisce un certo numero di rappresentazioni mediante serie dei valori della funzione zeta per argomenti interi.
La maggior parte di queste identità sono state fornite da Simon Plouffe. Esse sono molto utili, in quanto danno una rapida convergenza, fornendo la garanzia di quasi tre nuove cifre decimali ad ogni nuova iterazione; esse quindi rendono agevoli calcoli di alta precisione.
ζ(3)
modificaζ(3) è noto come costante di Apéry.
ζ(5)
modificaSimon Plouffe fornisce le identità
e
ζ(7)
modificaSi noti che la rappresentazione ha la forma di una serie di Lambert.
ζ(2n+1)
modificaSe si definiscono le quantità
- ,
si ottiene una serie di relazioni della forma
dove e si congettura siano interi positivi. Plouffe fornisce una tavola di valori:
n | A | B | C | D |
---|---|---|---|---|
3 | 180 | 7 | 360 | 0 |
5 | 1470 | 5 | 3024 | 84 |
7 | 56700 | 19 | 113400 | 0 |
9 | 18523890 | 625 | 37122624 | 74844 |
11 | 425675250 | 1453 | 851350500 | 0 |
13 | 257432175 | 89 | 514926720 | 62370 |
15 | 390769879500 | 13687 | 781539759000 | 0 |
17 | 1904417007743250 | 6758333 | 3808863131673600 | 29116187100 |
19 | 21438612514068750 | 7708537 | 42877225028137500 | 0 |
21 | 1881063815762259253125 | 68529640373 | 3762129424572110592000 | 1793047592085750 |
Se esiste una relazione di ricorrenza, non appare affatto ovvia.
Vi sono vari risultati che dimostrano che non tutti i numeri di una famiglia di ζ(2n+1) possono essere razionali. Per quanto riguarda ζ(5), il miglior risultato, a quanto risulta, afferma che almeno uno dei numeri ζ(5), ζ(7), ζ(9) e ζ(11) è irrazionale.
ζ(2n)
modificaPer i valori corrispondenti ad argomenti pari, invece, sono esprimibili mediante i numeri di Bernoulli:
Tale formula si dimostra così: si considerino i polinomi di Bernoulli e la loro versione periodica (la versione periodica dei polinomi di Bernoulli è una funzione che rimanda periodicamente i valori che i polinomi assumono nell'intervallo tra 1 e 0). La versione periodica ci permette di calcolare facilmente la serie di Fourier.
Ora dobbiamo calcolare i coefficienti della serie di Fourier:
Ora integrando per parti
Dalle proprietà dei polinomi di Bernoulli . Il primo termine è uguale a 0. Ora usiamo un'altra proprietà:
Ottenendo:
per n diverso da 1 Per si ottiene:
ricordando che
Dalle due uguaglianze prima viste
La serie di Fourier è dunque
Ponendo che poi è l'ennesimo numero di Bernoulli Dunque la frazione diventa perché il numero di nepero elevato a zero dà 0. Dunque per ottenere la formula bisogna divedere per Studiando la potenza dell'unità immaginaria si capisce che la formula è valida solo per i pari, perché la potenza dà un numero reale. Studiando il sengno dell'unità immaginaria elevata ad un numero pari si ottiene la formula: .
I numeratori e i denominatori sono dati dalle successioni di interi registrate in OEIS con le sigle A046988 e A002432. Alcuni di questi valori sono riprodotti di seguito.
2n | A | B |
---|---|---|
2 | 6 | 1 |
4 | 90 | 1 |
6 | 945 | 1 |
8 | 9450 | 1 |
10 | 93555 | 1 |
12 | 638512875 | 691 |
14 | 18243225 | 2 |
16 | 325641566250 | 3617 |
18 | 38979295480125 | 43867 |
20 | 1531329465290625 | 174611 |
22 | 13447856940643125 | 155366 |
24 | 201919571963756521875 | 236364091 |
26 | 11094481976030578125 | 1315862 |
28 | 564653660170076273671875 | 6785560294 |
30 | 5660878804669082674070015625 | 6892673020804 |
32 | 62490220571022341207266406250 | 7709321041217 |
34 | 12130454581433748587292890625 | 151628697551 |
Se denotiamo con il coefficiente di cui sopra,
allora per ricorsione si ottiene:
Bibliografia
modifica- Simon Plouffe (1998): Identities inspired from Ramanujan Notebooks II Archiviato il 30 gennaio 2009 in Internet Archive.
- Wadim Zudilin (2001): "One of the Numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is Irrational" Uspekhi Mat. Nauk 56, 149-150, 2001. PDF in inglese Archiviato il 24 agosto 2007 in Internet Archive. PS in inglese Archiviato il 24 agosto 2007 in Internet Archive. PDF in russo Archiviato il 16 marzo 2007 in Internet Archive. PS in russo Archiviato l'11 marzo 2007 in Internet Archive.