Le costanti di Stieltjes sono date dal limite
-
nel caso , nella prima sommatoria compare , che si pone uguale a 1.
La formula di Cauchy fornisce una rappresentazione integrale
-
Altre rappresentazioni in termini di serie e integrali compaiono nei lavori di Jensen, Franel, Hermite, Hardy, Ramanujan, Ainsworth, Howell, Coppo, Connon, Coffey, Choi, Blagouchine e altri autori.[1][2][3][4][5][6][7][8] In particolare, la formula integrale di Jensen-Franel, spesso attribuita erroneamente a Ainsworth e Howell, afferma che
-
dove è la delta di Kronecker.[5][7] Inoltre, si hanno le seguenti identità[1][5][9]
-
-
Per quanto riguarda le rappresentazioni in serie, nel 1912 Hardy[10] trovò la seguente serie in cui compare la parte intera di un logaritmo,
-
Israilov[11] scoprì una serie semiconvergente in termini dei numeri di Bernoulli
-
Connon,[12] Blagouchine[7] e Coppo[1] fornirono invece molte serie che coinvolgono i coefficienti binomiali
-
dove sono i coefficienti di Gregory, anche conosciuti come numeri logaritmici reciproci[13] ( , , , ,... ).
Oloa e Tauraso[14] mostrarono che certe serie con i numeri armonici conducono alle costanti di Stieltjes
-
Blagouchine[7] ottenne una serie lentamente convergente in cui compaiono i numeri di Stirling del primo tipo senza segno
-
insieme a una serie semiconvergente con solo termini razionali
-
dove . In particolare, la serie per la prima costante di Stieltjes ha una forma sorprendentemente semplice
-
dove è l' -esimo numero armonico.[7]
Delle serie molto più complicate sono fornite negli scritti di Lehmer, Liang, Todd, Lavrik, Israilov, Stankus, Keiper, Nan-You, Williams, Coffey.[2][3][7]
Le costanti di Stieltjes in valore assoluto soddisfano il seguente maggiorante
-
scoperto da Berndt nel 1972.[15] Migliori stime in termini di funzioni elementari furono ottenute da Lavrik[16]
-
e da Israilov[11]
-
con e , ,...; da Nan-You e Williams[17]
-
e inoltre da Blagouchine[7]
-
dove sono i numeri di Bernoulli. Infine si ha la seguente stima di Matsuoka[18][19]
-
Per quanto riguarda le stime per mezzo di funzioni non elementari e loro soluzioni, Knessl, Coffey[20] and Fekih-Ahmed[21] ottennero dei risultati abbastanza precisi. Per esempio, Knessl e Coffey fornirono la seguente formula che approssima le costanti di Stieltjes relativamente bene per grande.[20] Se è la soluzione unica di
-
con , e se , allora
-
dove
-
-
-
-
Fino a , l'approssimazione di Knessl-Coffey ha predetto correttamente il segno di , con la singola eccezione di .[20]
I primi valori di sono:
|
valore approssimato di |
OEIS
|
0 |
+0,5772156649015328606065120900824024310421593359 |
A001620
|
1 |
−0,0728158454836767248605863758749013191377363383 |
A082633
|
2 |
−0,0096903631928723184845303860352125293590658061 |
A086279
|
3 |
+0,0020538344203033458661600465427533842857158044 |
A086280
|
4 |
+0,0023253700654673000574681701775260680009044694 |
A086281
|
5 |
+0,0007933238173010627017533348774444448307315394 |
A086282
|
6 |
−0,0002387693454301996098724218419080042777837151 |
A183141
|
7 |
−0,0005272895670577510460740975054788582819962534 |
A183167
|
8 |
−0,0003521233538030395096020521650012087417291805 |
A183206
|
9 |
−0,0000343947744180880481779146237982273906207895 |
A184853
|
10 |
+0,0002053328149090647946837222892370653029598537 |
A184854
|
100 |
−4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017 |
|
1000 |
−1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486 |
|
10000 |
−2,2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883 |
|
100000 |
+1,9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432 |
|
Per grande, le costanti di Stieltjes crescono rapidamente in valore assoluto, e cambiano segno con uno schema molto complesso.
Si possono trovare ulteriori informazioni sulla valutazione numerica delle costanti di Stieltjes nei lavori di Keiper,[22] Kreminski,[23] Plouffe[24] e Johansson.[25] L'ultimo autore ha dato i valori delle costanti di Stieltjes fino a , ciascuna precisa alla 10000ª cifra. I valori numeri si possono trovare anche in LMFDB [26].
Costanti di Stieltjes generalizzate
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Più in generale, si possono definire le costanti di Stieltjes che compaiono nella serie di Laurent della funzione zeta di Hurwitz:
-
dove è un numero complesso con . Dal momento che la funzione zeta di Hurwitz è una generalizzazione della funzione zeta di Riemann, si ha che . La costante con è semplicemente la funzione digamma ,[27] mentre non si sa se anche le altre costanti sono riconducibili a una funzione elementare o classica dell'analisi. A ogni modo, esistono numerose rappresentazioni per queste costanti. Per esempio, esiste la seguente rappresentazione asintotica
-
dovuta a Berndt e Wilton. L'analoga per le costanti di Stieltjes generalizzate della formula di Jensen-Franel è la formula di Hermite[5]
-
Le costanti di Stieltjes generalizzate soddisfano la seguente relazione ricorsiva
-
come anche il teorema di moltiplicazione
-
dove indica il coefficiente binomiale.[28][29]
Prima costante di Stieltjes generalizzata
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La prima costante di Stieltjes generalizzata possiede un bel numero di proprietà notevoli.
- Identità di Malmsten (formula di riflessione per la prima costante generalizzata): la formula di riflessione per la prima costante di Stieltjes generalizzata è la seguente
-
dove e sono due interi positivi tali che . Questa formula è stata attribuita per lungo tempo a Almkvist e Meurman, che la derivarono negli anni '90.[30] Tuttavia, si è recentemente scoperto che l'identità, sebbene in una forma leggermente diversa, fu per la prima volta ottenuta da Carl Malmsten nel 1846.[5][31]
- Teorema degli argomenti razionali: la prima costante di Stieltjes generalizzata può essere calcolata nei numeri razionali in forma quasi-chiusa attraverso la seguente formula[5][27]
-
Una dimostrazione alternativa fu successivamente proposta da Coffey[32] e molti altri autori.
- Somme finite: esistono molte sommatorie che riguardano la prima costante di Stieltjes generalizzata. Per esempio:
-
Per ulteriori dettagli e sommatorie, vedere[5][29].
- Alcuni valori particolari: Alcuni particolari valori di con razionale si possono ricondurre alla funzione gamma, alla prima costante di Stieltjes e a qualche funzione elementare. Per esempio,
-
I valori della prima costante di Stieltjes generalizzata nei punti , e furono ottenuti indipendentemente da Connon[33] e Blagouchine[29]
-
Nei punti , e
-
Questi valori sono stati calcolati da Blagouchine.[29] Sono dovute allo stesso autore anche le seguenti identità
-
Seconda costante di Stieltjes generalizzata
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La seconda costante di Stieltjes generalizzata è molto meno studiata della prima. Similmente alla prima, si possono calcolare i valori di con razionale e attraverso la seguente formula[5]
-
Un risultato equivalente fu ottenuto successivamente da Coffey per mezzo di un altro metodo.[32]
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