Romboedro: Diferenzas entre revisións

Modelo:МногогранникRomboedro (de rombo e -edro, do grego antigo: ἕδρα - base, cara) é un corpo xeométrico, que é unha xeneralización dun cubo, cuxas caras non son cadradas, senón que son só rombos. Un romboedro é un poliedro paralelepípedo no que todas as arestas son iguais. O romboedro pódese usar para definir un sistema cristalino trigonal, un panal con células romboédricas.

En xeral, un romboedro pode ter tres tipos de caras rómbicas, que se dividen en pares congruentes de lados opostos. O romboedro ten C _i simetría de orde 2.

Catro puntos correspondentes a vértices non adxacentes dun romboedro forman necesariamente os catro vértices dun tetraedro ortocéntrico, e todos os tetraedros ortocéntricos poden obterse deste xeito ^[1] .

O sistema de cristalización trogonal romboédrico ten células romboédricas con 3 pares de caras romboédricas únicas:

Na cristalografía, o romboedro identifícase como unha forma simple do sistema trigonal da categoría media.^[2][3] Os minerais que teñen forma de romboedro son a esfalerita ou a fenacita, e moitos outros minerais teñen estruturas complexas que inclúen romboedros, por exemplo, a calcita.

Ver	Cubo	Trapezoedro trigonal	Prisma rómbico recto	Vista xeral do prisma rómbico	Romboedro xeral
Simetría	Oh , [4,3], orde 48	D3d, [2+,6], orde 12	D2h, [2,2], orde 8	C2h , [2], orde 4	Ci, [2+,2+], orde 2
Imaxe
Bordes	6 cadrados	6 rombos idénticos	Dous diamantes e 4 cadrados	6 caras rómbicas	6 caras rómbicas

• Cubo: con simetría de orde 48. Todas as caras son cadradas.
• Trapezoedro trigonal: con simetría D_3d de orde 12. Se todos os ángulos internos agudos das caras son iguais (todas as caras son idénticas). O corpo pode ser considerado como unha extensión dun cubo ao longo da súa diagonal principal. Por exemplo, un octaedro regular con dous tetraedros pegados ás caras opostas forma un trapezoedro trigonal cun ángulo de 60 graos. O trapezoedro trigonal ten polo menos dous vértices tales que todos os ángulos adxacentes a eles son iguais entre si. A través destas vértices pasa un eixo de simetría de terceira orde (é dicir, un eixo que, ao xirar ao redor del nun ángulo de 120° = 2π/3, fai que o corpo coincida consigo mesmo). Ademais, isto é unha característica do trapezoedro trigonal: un paralelepípedo é un trapezoedro trigonal só se ten un eixo de simetría de terceira orde.
• Prisma romboédrica directa: con simetría D_2h de orde 8. Constrúese a partir de dous rombos e 4 cadrados. A figura pode ser considerada como un "estiramento" dun cubo ao longo da diagonal dunha cara. Por exemplo, dúas prismas triangulares unidas pola súa cara lateral forman unha prisma romboédrica con un ángulo de 60 graos.
• Prisma romboédrica de aspecto xeral: con simetría de orde 4. Ten só un plano de simetría que pasa por catro vértices e ten 6 caras romboidais.

miniatura| Romboedro cos oito vértices marcados con letras. Para un romboedro unitario^[4] (lonxitude do lado = 1), no que o ángulo rómbico agudo é θ, un vértice sitúase na orixe (0, 0, 0) e un borde no eixo x, os tres vectores son iguais

e ₁ : ${\displaystyle {\biggl (}1,0,0{\biggr )},}$

_e2 : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},}$

e ₃ : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,{(\cos \theta -(\cos \theta )^{2}) \over \sin \theta },{{\sqrt {(1-3(\cos \theta )^{2}+2(\cos \theta )^{3})}} \over sin\theta }{\biggr )}.}$

Pódense obter outras coordenadas da adición de vectores^[5] de 3 direccións, e ₁ + e ₂, e ₁ + e ₃, e ₂ + e ₃ e e ₁ + e ₂ + e _3.

O volume dun romboedro cuxa lonxitude do lado é igual a a é unha simplificación da fórmula para o volume dun paralelepípedo e vén dado pola fórmula

${\displaystyle {\text{Vol}}=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {(1+2\cos \theta )}}.}$

Xa que a área da base vén dada pola fórmula ${\displaystyle a^{2}\sin \theta }$, a altura do romboedro h vén dada pola fórmula (o volume dividido pola área da base)

${\displaystyle h={a(1-\cos \theta ){\sqrt {(1+2\cos \theta )}} \over \sin \theta }.}$

Considere as diagonais internas do romboedro da figura. Tres das diagonais internas (BG, CF e DE) teñen a mesma lonxitude. Son fáciles de calcular mediante a xeometría de coordenadas se se coñecen as coordenadas de cada vértice. A distancia no espazo tridimensional calcúlase mediante a fórmula.^[6]

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.}$

Por exemplo, para un romboedro unitario cun ángulo agudo de 72 graos, as tres diagonais internas (BG, CF e DE) son iguais a 1,543 e a diagonal longa (AH) é igual a 2,203. O volume deste romboedro é de 0,8789 e a altura é de 0,9242.

• L. Lines. Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals. Dover Publications, 1965.
• N. A. Court. "Notes on the orthocentric tetrahedron", American Mathematical Monthly, 1934. JSTOR 2300415.

• Volume Calculator https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php