Cube parfait

en mathématiques, cube d'un entier naturel

En mathématiques, un cube parfait (un cube s'il n'y a pas ambiguïté) est le cube d'un entier naturel. Les dix-sept premiers cubes parfaits[1] sont:

Construction du troisième nombre cubique .
Puissance 03 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 133 143 153 163
Résultat 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096

Nombre cubique

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Un nombre cubique est un nombre figuré polyédrique (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un cube[2]. Par exemple, 8 est un nombre cubique puisqu'il peut être représenté par un cube de 2 × 2 × 2 points. Les nombres cubiques sont donc exactement les cubes parfaits strictement positifs, le n-ième étant n3.

Obtention du nombre cubique d'ordre n

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On obtient   à partir de la relation :  

  sont les nombres de sommets, arêtes et faces du dodécaèdre,   son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et   le nombre k-gonal d'ordre 'n' [3].

On obtient donc  .

D'où  .

Propriétés

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Le produit de deux nombres cubiques est un nombre cubique.

La somme des n premiers nombres cubiques est le carré du n-ième nombre triangulaire :  Il n'existe pas pour les nombres cubiques d'identité similaire à celle des triplets pythagoriciens pour les nombres carrés. En effet, une preuve élémentaire, amorcée par Euler, montre qu'il n'y a aucune solution non triviale à a3 + b3 = c3 avec a, b et c entiers (c'est un cas particulier du théorème de Fermat-Wiles).

Notes et références

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  1. Pour les 10 000 premiers, voir le ce lien de la suite A000578 de l'OEIS.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Cubic Number », sur MathWorld.
  3. (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, , 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 114

Articles connexes

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